2018年2月13日、千葉県公立高校前期入試「数学」第3問(二次関数)問題・解答・解説(速報)

2月14日午後8時30分 船橋市議・予備校講師 朝倉幹晴

船橋市も含む千葉県の中3生の皆さん。昨日(2月13日)の千葉県公立高校前期入試(学力考査)と本日(14日)の面接お疲れ様でした。今日の午後からは友達に会ったりして少し気分転換できたでしょうか? 前期での合格を祈りながらも、念のため後期に向けた勉強を始めましょう。作成に時間がかかり、翌日となってしまいましたが、数学第3問(二次関数)の解答解説速報を作成しました。

前期でできなかった部分を振り返ることでもし後期まで受験することになった場合は得点増できるようにしましょう。すでに本日の朝刊の折り込みで正解は出ています。前期にはできなかった問題も解答にいたる流れを理解すれば、後期では同様な問題を解くことができるようになります。特に苦手とする方が多い、二次関数とそれに関連する図形の読み方を説明しました。ぜひご活用しください。

(また中1、2の皆さんは、来年以降、自らが受ける入試に向けて、問題に挑戦してみませんか。中3で学ぶニ次関数は未習ですが、後半は小学校で学んだ図形の面積の活用も出てきます。未習で理解できない部分は読み飛ばしていいので、理解できる部分だけでも読んでみてください。。また大人の方も、こんな中学生たちが取り込んでいる問題にぜひ挑戦してみてください。)

 

なお、試験問題は白黒ですが、画面上ですので一部カラーにし、また各小問の配点も明記しました。

上の図を見ながら確認してほしい。

流れ① OA:OB=1:4だから、Bの座標はA(1,2)のx座標、y座標それぞれ4倍なのでB(4,8)

流れ② x軸に平行な直線m上の点はy座標は全てBと同じ8である。それがy=2×2(2かけるxの2乗)と交わる点がCであり、Cのy座標は8である。

流れ③ y=2x2(2かけるxの2乗)のyに8を代入し、Cのx座標が、x座標が−の領域なので−2となり、Cの座標が(−2、8)とわかる。

流れ④ 平行四辺形OBCDで対辺の長さは等しいので、CB=DO。CBの長さはCとBのx座標−2と4の差なので6となり、CB=DO=6。

よってDの座標は(-6、0)となる。

流れ⑤ 求めるべき直線CDは、C(−2、8)、D(−6、0)を通る。CDの方程式をy=ax+bとおき、2点C(−2、8)、

D(−6、0)のx座標、y座標の値を代入し、a、bに関する連立方程式を立てる。

8=−2a+b・・・①

0=−6a+b・・・②

①-②より 8=−2a−(−6a)

8=4a       a=2

これを②に代入すると 0=−6×2+b

b=12

よって求める方程式は、y=2x+12

 

図のように台形OAPDと平行四辺形OBCDを高さが共通の台形だとみなし、DCやDPを下底、OAやODを上底とみなす。

すると「上底+下底」の比がそのまま面積比になるので、これが、3:8になればよい。

 

問題文の本文にOA:OB=1:4との記述があったことをそのまま活用し、OAを1と見なして考えると

台形(平行四辺形)OBCDの上底+下底=DC+OB=4+4=8

なので

台形OAPDの上底+下底=OA+DP=1+DP=3

となればよい。

すると、DP=2、つまり、DPはDCの1/2の長さで、Pが線分CDの中点となればよい。

Pのy座標はCのy座標8とDのy座標0の中間なので、4となる。

y=2x+12のyに4を代入すると、4=2x+12  −2x=8 x=−4

Pの座標は(−4、4)

(別解  PはC(−2、8)、D(−6、0)の中点なので

x座標 {(-2)+(−6)}/2 =−4

y座標 (8+0)/2 =4

P(−4、4))



朝倉幹晴(あさくらみきはる)


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