2021年大学入試共通テスト(第2日程)数学ⅡB問題第1問[1]「三角関数」(配点17点)問題、解答、解説

2022年6月11日 予備校講師・船橋市議(無党派) 朝倉幹晴

大学入試共通テスト数学ⅡB(第2日程)第1問[2]の問題、解答、解説を作りました。ご活用ください。

大学入試共通テスト数学ⅡB(第2日程)第1問[2](配点17点)

座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点
P(cosθ,sinθ),Q(cosα,sinα),R(cosβ,sinβ)がある。ただし、0≦θ<α<β<2πとする。このときsとtを次のように定める。
s=cosθ+cosα+cosβ, t=sinθ+sinα+sinβ

(1)△PQRが正三角形や二等辺三角形のときのsとtの値について考察しよう。

考察1 △PQRが正三角形である場合を考える。

この場合、α,βをθで表すと


(シ1点、ス1点)
であり、加法定理により
cosα=(2点),sinα=(2点)
である。同様に、cosβおよびsinβを,sinθとcosθを用いて表すことができる。
これらのことから、s=t=(1点)である。

考察2 △PQRがPQ=PRとなる二等辺三角形である場合を考える。

例えば、点Pが直線y=x上にあり、点Q,Rが直線y=xに関して対称であるときを考える。このとき、である。また、αは
を満たし、点Q,Rの座標について、sinβ=cosα,cosβ=sinαが成り立つ。よって


である。
ここで、三角関数の合成により

である。したがって

(ナニ2点)(ヌネ2点)
のとき、s=t=0である。

(2)次に、sとtの値を定めたときのθ,α,βの関係について考察しよう。

考察3 s=t=0の場合を考える。

この場合、sin2θ+cos2θ=1により、αとβについて考えると


(ノハ-1、ヒ2、ノハヒあわせて2点)
である。
同様に、θとαについて考えると

であるから、θ、α、βの範囲に注意すると

(フヘあわせて1点)
という関係が得られる。

(3)これまでの考察を振り返ると、次ののうち正しいであることがわかる。(2点)
の解答群

△PQRが正三角形ならばs=t=0であり、s=t=0であり、△PQRは正三角形である。
△PQRが正三角形ならばs=t=0であるが、s=t=0であっても△PQRが正三角形でない場合がある。
△PQRが正三角形であってもs=t=0でない場合があっても
s=t=0ならば△PQRは正三角形である。
△PQRが正三角形であってもs=t=0でない場合があり
s=t=0であっても△PQRが正三角形でない場合がある。

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