2025年大学入試共通テスト「数学1A」第４問（配点20点）問題・解答・解説
asakura
2025年4月29日 朝倉幹晴（予備校講師・船橋市議）
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2025年大学入試共通テスト「数学1A」第４問（配点20点）
ある行事で、主催者が次のゲームを計画している。
ゲーム
参加者はくじを最大3回引き、当たりが出たら、1200円相当の景品を主催者から受け取り、以降はくじを引かない。参加者はくじを１回目、2回目、3回目で異なる線から引く。1回目のくじ引きで当たりが出なかった場合は2回目のくじを引き、2回目のくじ引きでも当たりが出なかった場合は3回目のくじを引く。主催者は、当たりの出る確率について次のとおり設定する。
・1回目に当たりが出る確率は
である。
・1回目に当たりが出ず、かつ2回目に当たりが出る確率は
である。
・1回目、2回目ともに当たりが出ず、かつ３回目に当たりが出る確率は
である。
ゲームの参加料について、主催者は２種類の支払い方法を考えている。参加料に関する設定の妥当性について、主催者は判断を行う。
以下では、主催者が参加者に対して負担する金額をX円とする。すなわち、参加者がゲームで景品を受け取るときX＝1200、参加者がゲームで景品を受け取らないときX＝０である。
（2）
（i)数量Xの期待値はコサシ（3点）である。なお、必要に応じて、次に示す表を用いて考えてもよい。
（ii)次の支払い方法１を考える。
支払い方法１
参加者は1回目のくじを引く直前に参加料500円を支払う。
支払い方法１の場合、主催者が負担する金額X円の期待値が、参加料の金額500円以上であるとき、参加料の設定は妥当ではないと判断する。
（i)で求めたX円の期待値コサシ円は参加料の金額500円ス。したがって、主催者は参加料500円という設定についてセと判断する。
（スセで合わせて1点）
（3）aを正の整数とする。次の支払い方法２を考える。
支払い方法２
参加者は1回目、2回目、3回目のくじを引く直前にそれぞれ料金a円を支払う。なお、この料金をくじ引き料といい、当たりが出た後は、くじを引かないため、くじ引き料を支払わないこととなる。
支払い方法２で、ゲームを通して参加者が支払うっくじ引き料の合計を参加料とし、Y円で表す。
（i)a=170とする。このとき、次が成り立つ。
・1回目に当たりが出るとき、Ｙ＝170である。
・1回目に当たりが出ず、かつ2回目に当たりが出るとき、Y＝340である。
・1回目、2回目ともに当たりがでないとき、Y＝510である。
数量Yの期待値はソタチ（3点）である。なお、必要に応じて、次に示す表を用いて考えてもよい。
（ii）支払い方法２の場合、主催者が負担する金額X円の期待値が、参加料Y円の期待値未満であるとき、主催者はくじ引き料の設定は妥当ではないと判断する。
(2)の（i)で求めたX円の期待値コサシ円は、a=179と設定した場合の支払い方法２で参加者が支払う参加料Y円の期待値ソタチ（3点）円ツ。
したがって、主催者はくじ引き料170円という設定についてテと判断する。（ツテあわせて1点）
また、主催者がくじ引き料の設定が妥当であると判断するのは、a＞トナニ（3点）のときであり、主催者がくじ引き料の設定が妥当ではないと判断するのはa≧トナニのときである。
