2020年大学入試センター「数学ⅠA」第1問［３］（配点12点）、問題・解答・解説 2021年12月10日 最終更新日時 : 2022年10月4日 asakura FacebookXCopy 目次 Toggle 第1問[３]（配点計12点）ｃを定数とする。2次関数ｙ＝ｘ２のグラフを、2点（c、0）、（c+4、０）を通るように平行移動して得られるグラフをＧとする。 （1）Ｇをグラフにもつ2次関数は、ｃを用いて ｙ＝x2－2(e＋ツ)x＋c(c+テ)（2点） と表せる。 ２点（3,0）(3、－３)を両端とする線分とＧが共有点をもつようなｃの値の範囲は －ト≦ｃ≦ナ（2点）、ニ≦c≦ヌ（2点） である。（2）ニ＜ｃ＜ヌの場合を考える。Ｇが点（3、－1）を通るとき、Ｇは2次関数ｙ＝x2のグラフをｘ軸方向に（2点）、 ｙ軸方向にハヒ（2点）だけ平行移動したものである。また、このときＧとｙ軸との交点のｙ座標は（2点）である。[next_p]解説（1）平行移動した2次関数は、（c,0)(c+4,0)という、ｘ軸（ｙ＝0）上の2点を通る。ｃ、ｃ＋４を２つの実数解として持つ2次方程式でｘ２の係数が１となるのは、（ｘーｃ）（ｘ－(ｃ＋４））＝０なので、この2次関数はｙ＝（x－ｃ）（ｘー（ｃ＋４））である。 展開して計算して、ｙ＝ｘ２−（ｃ＋4）ｘーcx＋ｃ（ｃ＋4） ｙ＝ｘ２ー（2c+4）x＋ｃ（ｃ＋4） y=x2−2(c+2)x+c(c+4)（ツテの答、2点）線分はｘ＝３（－３≦ｙ≦０）なので、共有点を持つためには、Ｇでｘ＝３のとき－３≦ｙ≦０となればよい。 Ｇにｘ＝３を代入すると、 ｙ＝32−2(c+2)×３＋ｃ（ｃ＋4）＝９ー６（c+2)＋c2＋4c＝９－6c－12＋c2＋4c=c2−2c－３ －３≦c2ー2c－3≦０なので、－３≦ｃ2ー2c－３とc2ー2c－3≦０を同時に満たすｃの範囲を求めればよい。－３≦ｃ2ー2c－３ ０≦c2ー2c 0≦c(c-2) よってｃ≦０またはｃ≥２… c2ー2c－3≦０ （c－3)（c+1)≦０ －1≦ｃ≦３… －１≦ｃ≦０（トナの答、2点）、２≦c≦３（ニヌの答、2点）（2）２≦ｃ≦３で、Ｇが（３、－1）を通るのでｘ＝３、ｙ＝－１を代入して －１＝３2−2(c+2)・3+c(c+4) －１＝９－6cー12＋c2＋4c 左辺・右辺を逆にして ９－6cー12＋c2＋4c＝－１ c2−2c－２＝０ Gを平方完成させるとy=x2−2(c+2)x+c(c+4) ＝x2−2(c+2)x＋（c+2)2−（c＋2）2＋ｃ（ｃ＋4） ＝（ｘ－（ｃ＋2））2−c2ー4c－4＋c2＋4c =（ｘ－（ｃ＋2））2−4 ここにｃを代入すると 様々な二次関数ｙ＝ax2＋bx2＋ｃのグラフは、ｙ＝ax2をｘ軸、ｙ軸方向に平行移動させたと捉えることができる。そう捉えると軸と頂点が決まり、図が描きやすく、座標の中での他の曲線・直線との位置関係がわかりやすくなる。ｙ＝ax2＋bx＋cをｙ＝a（x－p）2＋qのように変形することを平方完成といい、以下のような手順で変形をする。 第1問[３]（配点計12点） ｃを定数とする。2次関数ｙ＝ｘ２のグラフを、2点（c、0）、（c+4、０）を通るように平行移動して得られるグラフをＧとする。 （1）Ｇをグラフにもつ2次関数は、ｃを用いて ｙ＝x2－2(e＋ツ)x＋c(c+テ)（2点） と表せる。 ２点（3,0）(3、－３)を両端とする線分とＧが共有点をもつようなｃの値の範囲は －ト≦ｃ≦ナ（2点）、ニ≦c≦ヌ（2点） である。 （2）ニ＜ｃ＜ヌの場合を考える。Ｇが点（3、－1）を通るとき、Ｇは2次関数ｙ＝x2のグラフをｘ軸方向に（2点）、 ｙ軸方向にハヒ（2点）だけ平行移動したものである。また、このときＧとｙ軸との交点のｙ座標は（2点）である。 [next_p] Pages : 1 2
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（2点）、 ｙ軸方向にハヒ（2点）だけ平行移動したものである。また、このときＧとｙ軸との交点のｙ座標は
（2点）である。
