2020年大学入試センター試験「数学IA」第2問［２］（15点）問題・解答・解説

2022年1月12日 2022年1月24日

asakura

解説
99個の観測値データを値の小さい順に並べ、小さい順に１～99の番号をつけて考えると以下のようになる。なお隣り合う数値は
左の値≦右の値であって、左の値＜右の値とは限らない、つまり左の値＝右の値がありうる点を注意してほしい。

統計は多くの数のデータを把握・処理する上で有効だが、最初に学ぶ時、数が多いゆえにイメージがしにくくなることがある。最初の理解のためには少ない数のデータで考えることをお勧めする。本解説の末尾につけたまとめのようにQ１、Q２、Q3で区分される群は観測値の個数が4n、4n+1、4n+2、4n+3（ｎは０以上の整数）かによってパターン化される。99＝４×24＋３と同じパターンになる小さな個数７＝４×１＋３で考えてみよう。

平均値は第１四分位数と第３四分位数の間にある。×

Q１（第１四分位数）より小さい値の群に極端に小さい値が多かった場合、逆にQ3（第3四分位数）より大きい値の群に極端に大きい値が多かった場合、平均値は極端に小さい値、大きい値に引きずられて、Q１より小さい、Q３より大きいとなる場合がある。
したがって×。7個のデータで考えると以下の例がそれにあたる。

四分位範囲は標準偏差より大きい。×

Q_１＝Q₃＝０であり、Q_３以上に０より大きい数があった場合、四分位範囲はQ₃－Q₁＝０で、標準偏差は０より大きくなるので、四分位範囲は標準偏差より小さくなる。よって×。以下が7個のデータでのその例である。

中央値より小さい観測値の個数は49個である。×

は、データ一般の考え方なので7個データのモデルで考えられたが、今度は個数を特定しているので99個の測定値で考えてみよう。小さい値から98番目までがすべて０で、99番目が９だった測定値を考えると、中央値は０で、中央値より小さい数値はないので０個となる。隣り合うデータが同じ数であることがありうることを知っていれば49個とは限らないことがわかる。

最大値に等しい観測値を1個削除しても第１四分位数は変わらない。〇

99個や7個のような4n+3で示される個数の場合、以下のようになる。7個の例で説明しよう。

第１四分位数が変わらないことがわかる。

第１四分位数より小さい観測値と、第３四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると、残りの観測値の個数は51個である。×

選択肢の場合と同様、という隣り合うデータが同じ数であることがありうることを知っていれば、「Q１より小さい観測値」も「Q１より小さい観測値」も24個とは限らない。よってそれらを削除する数が48個とは限らないので、残りの観測地の個数は51個とは限らない。

第１四分位数より小さい観測値と、第３四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると、残りの観測値からなるデータの範囲はもとのデータの四分位範囲に等しい。〇

もとのデータの四分位範囲はQ₃ーQ₁となる。Q₁より小さい観測値とQ₃より大きい観測値全て削除すると、観測値の中で最小値は（もとの99個のデータでの）Q₁、最大値はQ₃となり、データの範囲はQ₃－Q₁となる。

コ・サ（3点×2）

（2）図１は、平成27年の男の市区町村別平均寿命のデータを47の都道府県P１、P２、・・・・、P47ごとに箱ひげ図にして並べたものである。次の、、は図１に関する記述である。

四分位範囲はどの都道府県においても１以下である。誤

箱ひげ図は中央値が小さい値から大きい値に上から下へ並んでいる。誤
P１のデータのどの値とｐ47のデータのどの値とを比較しても1.5以上の差がある。正

よってシ（3点）

（3）

最小値・最大値からと推定できる。そして、中央値の位置からス（3点）。

（4）ヒストグラムの階級の幅が0.25に設定されている。図３の年齢差を示す傾き１の曲線は0.5の幅なので、中央に線を入れて0.25ごとの幅にし、その中にある個数を数えると以下のようになる。ただし、線の引き方・見方によって、数が１・２程度ずれる（隣りの階級に含まれると解釈する）こともあるが、概数を読むことができれば選択肢を選ぶことができる。