大学入試共通テスト2022年数ⅡB第1問［１］（図形と方程式・配点15点）問題、解答、解説

2022年6月　予備校講師・船橋市議（無党派）　朝倉幹晴

大学入試共通テスト2022年の数ⅡB第1問［１］（図形と方程式・配点15点）の解答、解説を作りましたので、勉強、入試対策のご活用ください。第1問[2]は対数で別内容なので解答・解説は後日、別に作成します。

大学入試共通テスト2022年の数ⅡB第1問［１］（配点15点）

座標平面上に点A（－8,0)をとる。また、不等式
x²＋y²−4xー10ｙ＋４≦０
の表す領域をDとする。

（1）領域Dは、中心が点（ア,イ）、半径がウの円のエである。

エの解答群
周　　内部　外部　　周および内部　　周および外部

以下、点（ア,イ）をQとし、方程式
x²＋y²−4xー10ｙ＋４＝0
の表す図形をＣとする。

（2）点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
（i）（1)により、直線ｙ＝オは点Ａを通るＣの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがｋの直線をℓとする。

太郎：直線ℓの方程式はｙ＝k（ｘ＋8）と表すことができるから、
これを
x²＋y²−4xー10ｙ＋４＝0
に代入することで接線を求められそうだね。
花子：ｘ軸と直線ＡＱのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。

（ⅱ）太郎さんの求め方について考えてみよう。
ｙ＝k(x+8)をx²＋y²−4xー10ｙ＋４＝0に代入すると、ｘについての2次方程式
（k²＋1）x²＋（16k²−10k－4)x＋64k²ー80k＋4＝０
が得られる。この方程式がカのときのkの値が接線の傾きとなる。

 

カの解答群

重解をもつ　　異なる二つの実数解をもち、一つは０である。異なる二つの正の実数解をもつ

正の実数解と負の実数解をもつ　　異なる二つの負の実数解をもつ　異なる二つの虚数解をもつ

(ⅲ）花子さんの求め方について考えてみよう。
ｘ軸と直線ＡＱのなす角をθ（０＜θ≦）とすると

であり、直線ｙ＝オと異なる接線の傾きはtanケ（2点）と表すことができる。

ケの解答群

（ⅳ）点Aを通るCの接線のうち、直線y＝オ

と異なる接線の傾きをｋ_oとする。このとき、（ⅱ）または（ⅲ）の考え方を用いることにより

であることがわかる。
直線ℓと領域Dが共有点をもつようなｋの値の範囲はシ（2点）である。

シの解答群

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