2021年共通テスト数学ⅠA（第２日程）第5問（図形）（計20点）問題・解答・解説

2022年6月　予備校講師・船橋市議（無党派）　朝倉幹晴

2021年共通テスト数学ⅠA（第２日程）第5問（図形）（計20点）の解答・解説を作成しました。学習、入試対策にご活用ください。
（解答・解説は末尾をクリックすると次のページにあります）

2021年共通テスト数学ⅠA（第２日程）第5問（図形）（計20点）

点Zを端点とする半直線ZXと半直線ZYがあり、０°＜∠XZY＜90°とする。また、０°＜∠SZX＜∠XZYを満たす点Sをとる。
++点Sを通り、半直線ZXと半直線ZYの両方に接する円を作図したい。
円Oを、次の（Step1)～（Step5)の手順で作図する。

手順
（Step1)∠XZYの二等分線ℓ上に点Cをとり、下図のように半直線ZXと半直線ZYの両方に接する円Cを作図する。
また、円Cと半直線ZXとの接点をD、半直線ZYとの接点をEとする。
（Step2)円Cと直線ZSとの交点の一つをGとする。
（Step3)半直線ZX上に点Hをを満たすようにとる。
（Step4)点Hを通り、半直線ZXに垂直な直線を引き、ℓとの交点をOとする。
（Step5）点Oを中心とする半径OHの円Oをかく。

（1）（Step１）～（Step5）の手順で作図した円Oが求める円であることは、次の構想に基づいて下のように説明できる。

構想
円Oが点Sを通り、半直線ZXと半直線ZYの両方に接する円であることを示すには、OH＝ア（2点）が成り立つことを示せばよい。

作図の手順より、△ＺＤＧと△ＺＨＳとの関係、および△ＺＤＣと△ZHOとの関係に着目すると
DG：イ＝ウ：エ（合わせて2点）
DC：オ＝ウ：エ（オ1点）
であるから、DG：イ＝DC：オとなる。
ここで、3点S、G、Hが一直線上にない場合は、∠CDG＝∠カ（2点）であるので、
△CDGと△カとの関係に着目すると、CD＝CGよりOH＝アであることがわかる。
なお、3点S、O、Hが一直線上にある場合は、DG＝キDC（キ1点）となり、DG：イ＝DC：オよりOH＝アであることがわかる。

（2）点Sを通り、半直線ZXと半直線ZYの両方に接する円は二つ作図できる。
特に、点Sが∠XZYの二等分線ℓ上にある場合を考える。半径が大きい方の円の中心をO₁とし、
半径が小さい方の円の中心をO₂とする。また円O₂と半直線ZYが接する点をＩとする。
円Ｏ₁と半直線ＺＹが接する点をＪとし、円Ｏ_１と半直線ＺＸが接する点をＫとする。
作図をした結果、円Ｏ₁の半径は５、円Ｏ₂の半径は３であったとする。
このとき、である。さらに、円Ｏ_１と円Ｏ_２の接点Ｓにおける
共通接線と半直線ＺＹとの交点をＬとし、直線ＬＫと円Ｏ_１との交点で点Ｋとは異なる点をＭとすると
ＬＭ・ＬＫ＝サシ（3点）
である。
また、であるので、直線ＬＫと直線ℓとの交点をＮとすると

である。

[next_p]