2021年共通テスト数学ⅠA（第２日程）第5問（図形）（計20点）問題・解答・解説

2022年6月23日 2022年6月25日

asakura

解説

手順
（Step1)∠XZYの二等分線ℓ上に点Cをとり、下図のように半直線ZXと半直線ZYの両方に接する円Cを作図する。また、円Cと半直線ZXとの接点をD、半直線ZYとの接点をEとする。
（Step2)円Cと直線ZSとの交点の一つをGとする。
（Step3)半直線ZX上に点Hをを満たすようにとる。
（Step4)点Hを通り、半直線ZXに垂直な直線を引き、ℓとの交点をOとする。
（Step5）点Oを中心とする半径OHの円Oをかく。

で作図すると以下のようになる。（なお図中の点線はStep５まででは作図されないが、その後の設問を解くときに必要な補助線なのであらかじめ加筆した。）

ＯＨ＝OS（アの答）ならば、円は点Ｓを通る。

△ＺＤＧと

△ZDGと△ZHSについて
でZXとなす角で同位角なので
∠ZDG＝∠ZHS…
∠DZG＝∠HZS（共通）…
より2組の角がそれぞれ等しく
△ZDG∽△ZHSなので
相似比から
DG：HS（イの答）＝ZD（ウの答）：ZH（エの答）（あわせて2点）

△ＺＤＣと△ZHOについて
∠ZDC＝∠ZHO＝90°…
∠DZC＝∠HZO（共通）…
より2組の角がそれぞれ等しく
△ZDS∽△ZHOなので
相似比から
DC：HO（オの答）＝ZD：ZH（オ2点）

であるから、DG：HS＝DC：HO…

ここで、3点S、O、Hが一直線上にない場合は、
∠CDGと∠OHSに注目すると
∠CDG＝∠ZDC（90°）ー∠ZDG…
∠OHS＝∠ZHO（90°）ー∠ZHS…
より
∠CDG＝∠OHS（カの答）（2点）…

である。
△CDGと△OHSについて
 より
2組の辺の比とその間の角が等しいので
△CDG∽△OHSなので、CDとCGは円Ｃの半径でCD=CGより、
相似の三角形の辺比は等しいのでOH＝OS（ア）であることがわかる。
＜参考＞（中学の復習）

S,O,Hが一直線上にある場合、円がZXに接することは変わらないのでOH⊥ZHより、
SはZXに対する垂線上にある。

するとなので、GもZXに対する垂線上にあり、円Cの直径と半径に相当するので
DG＝２（キの答）DC　（2点）

点Sを通り、半直線ZXと半直線ZYの両方に接する円は二つ作図できる。
特に、点Sが∠XZYの二等分線ℓ上にある場合を考える。半径が大きい方の円の中心をO₁とし、
半径が小さい方の円の中心をO₂とする。また円O₂と半直線ZYが接する点をＩとする。
円Ｏ₁と半直線ＺＹが接する点をＪとし、円Ｏ_１と半直線ＺＸが接する点をＫとする。
作図をした結果、円Ｏ₁の半径は５、円Ｏ₂の半径は３であったとする。