2023年大学入試共通テスト「数学１A」第1問［2］（1）（平面図形）（配点10点）問題・解答・解説

解説　

問題の最初の文章を図にすると以下のようになる。

点Cを∠ACBが鈍角となるようにとるので、Cは劣弧AB上にある。

直線AOと円とのもう１つの交点をEとする。BEを結ぶと、タレスの定理より、∠ABE＝90°。
したがって、sin∠AEB（図●）＝AB／AE＝６／10＝3／5。

四角形ACBEは円に内接するので、内角の対角の和は180°。
∠ACB＋∠AEB＝180°　∠ACB＝180°−∠AEB
sin∠ACB＝sin（180°ー∠AEB)＝sin∠AEB＝3／5。（サの答）

＜参考＞

点Cを△ABCの面積が最大となるようにとるイメージ図は以下となる。

このとき、ABに平行でCを通る接線ℓを考えると、接線と接点と円の中心を結ぶ直線は直交するので
ℓ⊥CO、ℓ⊥CD。ℓ∥ABより、AB⊥OD。中心から弦に引いた垂線は弦を二等分するので、AD=DB＝３。

直角三角形△OADで三平方の定理より
OD²＋AD²＝OA²

OD²＝OA²−AD²＝5²−3²＝25ー9＝16＝4²
OD>０なので、OD=4。
tan∠OAD＝OD／AD＝4／3（ス答、）
CD＝CO+OD＝5+4＝9
△ACBは、底辺AB、高さCDなので
△ACB＝1／２　×6×９＝27（セソ答）