2023年大学入試共通テスト「数学IA」第５問（選択、20点）問題・解答・解説

2023年12月14日　予備校講師・船橋市議　朝倉幹晴

2023年大学入試共通テスト「数学１A」第5問（選択、配点20点）の解答・解説を作成しましたので、ご活用ください。問題文の最後の所でページ番号「２」をクリックすると解答・解説に飛びます。

2023年大学入試共通テスト「数学IA」第５問（選択、20点）

（1）円Oに対して、次の手順１で作図を行う。

手順１
（Step1)円Oと異なる2点で交わり、中心Oを通らない直線ℓを引く。円Oと直線ℓとの交点をA、Bとし、線分ABの中点Cをとる。
（Step2)円Oの周上に、点Dを∠CODが鈍角となるようにとる。直線CDを引き、円Oとの交点でDとは異なる点をEとする。
（Step3)点Dを通り直線OCに垂直な直線を引き、直線OCとの交点をFとし、円Oとの交点でDとは異なる点をGとする。
（Step4)点Gにおける円Oの接線を引き、直線ℓとの交点をHとする。

このとき、直線ℓと点Dの位置によらず、直線EHは円Ｏの接線である。このことは、次の構想に基づいて、後のように証明できる。

構想
直線EHが円Ｏの接線であることを証明するためには、∠OEH＝アイ°（2点）であることを示せばよい。

手順１の（Step1)と(Step4)により、4点Ｃ、Ｇ、Ｈ、ウ（2点）は同一円周上にあることがわかる。よって、∠ＣＨＧ＝エ（3点）である。一方、点Ｅは円Ｏの周上にあることから、エ＝オ（3点）がわかる。よって、∠ＣＨＧ＝オであるので、4点Ｃ、Ｇ、Ｈ、カ（2点）は同一円周上にある。この円が点ウを通ることにより、∠ＯＥＨ＝アイ°を示すことができる。

（2）円Oに対して、（1）の手順１とは直線ℓの引き方を変え、次の手順2で作図を行う。

手順２
（Step1)円Oと共有点をもたない直線ℓを引く。中心Oから直線ℓに垂直な直線を引き、直線ℓとの交点をPとする。
（Step2)円Oの周上に、点Qを∠POQが鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
（Step3)点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
（Step4)点Sにおける円Oの接線を引き、直線ℓとの交点をTとする。

このとき、∠ＰＴＳ＝キ（3点）である。


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