2022年大学共通テスト数学ＩＡ第2問[１]問題（15点）・解答・解説

【解説】

（を解の公式で解いたが、D＞0であることを確認し、
の解1をに代入し、1²−4・１＋4≠0で１が解でないことを確認するだけでもよい。）

（2） それぞれの２つの実数解がありn＝２＋２＝４となるのが最大である。

これがｎ＝３になる場合の一つは、太郎と花子の会話のように、
の１つの解が同じ場合である。このときその同じになる解をαとすると
α²－6α＋q＝0とα²＋qα－6＝０
が両方成り立つので
α²－6α＋q＝α²＋qα－6
(－6－q)α＝－6－q
－6－q≠0 つまり　q≠－6のとき
α＝1
このときα²－6α＋q＝0に代入して
1²－6・１＋q=0 －5＋q＝0   q＝5
このとき　x²－6x＋5＝0
（x－5)(x－1)=0 x=1,5
x²＋5x－6=0
(x+6)(x－1)＝1,－6
の解で１が共通で、解は３つとなる。

もう１つは１つの式の解が重解で、もう１つの式がその重解と異なる２つの実数解を持つ場合である。
p＝－6  の場合の２式、x²−6x＋q＝0とx²+qa－6＝０のうち、重解となる場合は定数項は正の数となるので、ではなくである。x²−6x＋9＝０ならば、（x－3)²＝0となり、重解3を持つ。よってq＝9

この場合、はx²＋9x－6＝０
判別式Ｄ＝9²－4・１・（－6)＝81＋24＝105＞０
で異なる２つの実数解を持ち、　ｘ＝３の場合は
3²＋9・３－6 ＝9+27－6＝30≠0で解ではないので
２つの実数解は３とは異なるのでn=3と確認できる。
ちなみに本設問ではの解を求めることは要求されておらず、時間の節約から求めないほうがよいが、
参考までに解を求めると以下のようになる。

ウ＜エより、　q＝５（ウ答、3点）、９（エ答、2点）

（3）の場合
y＝x²−6x＋q＝x²−6x＋9－9＋q＝（x－3)²−9＋q
よって頂点（3,－9+q)、軸x=3の二次曲線となる。qを増加させても軸ｘ＝３は変わらず、頂点のy座標が増加するので、グラフは点線（q=1)→実線（qを増加）で、上方向に平行移動する。よって（オ答、1点）

（4）５（ウ）＜ｑ＜９（エ）とする。全体集合Ｕを実数全体の集合とし、Ｕの部分集合Ａ、Ｂを
Ａ＝｛ｘ｜ｘ²－6x＋q＜0｝
Ｂ＝｛ｘ｜x²+ｑｘ－6＜０｝
x²−6x＋q＝0で　D＝（－6)²−4・１・q＝36－4q＝4(9−q)
よって5<q<9では　D>0となる、異なる２つの実数解を持つ。
x²＋qx－6＝0で　D＝q²−4・１・（－6)＝q²＋24＞0
これも、異なる２つの実数解を持つ。
よってｘ²－6x＋q＜0、x²+ｑｘ－6＜０ともその範囲は、それぞれの異なる実数解の間の範囲となる。

１＜x＜５かそれより狭い範囲となるAの範囲と、範囲の最大値が１より小さいBの範囲は重ならないので、
・x∈Aは、x∈Bであるための必要条件でも十分条件でもない（キ答、）

はｘ≦1、5≦xかこれより広い範囲なので、必ずx≦１となる。
一方Bの範囲の最大値は1より小さいのでx<1となる。

したがってBならば、必ずの範囲内となる。
しかしには５≦xなど１より大きい範囲もあるので、の範囲でもBの範囲にならない範囲はある。

したがってB⇒であるが、⇒Bではないので、
・ｘ∈Bは、x∈であるための十分条件であるが、必要条件ではない（ク答、）（キクあわせて3点）