2024年 #大学入試 #共通テスト #数学1A 第2問[1](配点15点)問題・解答・解説
【解説】
(1)ア(△PBQの面積)
Bからx軸に下ろした垂線のx軸との交点をHとする。
△PBQ(上図青)の面積は、長方形OCBHの面積から、青を取り囲む白い3つの三角形△OPQ、△CBQ、△BPHの面積を引いたものである。
長方形OCBH=4×6=24
△OPQ=1/2 ×1×4=2
△CBQ=1/2 ×2×4=4
△BPH=1/2 ×3×6=9
よって
24ー(2+4+9)=9(ア答)
(2)
3秒以内ならば、PはHよりx座標が小さいので(1)と同じ考え方ができる。
t秒後のPのx座標はt、Qのy座標は(6ー2t)である。
よって
長方形OCBH=4×6=24
△OPQ=1/2 ×t×(6ー2t)=3tーt2
△CBQ=1/2 ×2t×4=4t
△BPH=1/2 ×(4ーt)×6=12ー3t
よって
△PBQ=24ー(3t-t2+4t+12ー3t)
=24ー(-t2+4t+12)
=24+t2ー4t-12
=t2−4t+12
=t2−4t+4-4+12
=(t-2)2+8
t=2の時最小値8(イ答)
二次関数の軸はt=2であり、0≦t≦3の範囲で、最大値をとるのは軸からもっとも離れたt=0の時である。よって (0-2)2+8=4+8=12(ウ答)
【参考】△PBQが最大値をとるt=0の時の△PBQ(=△OBC)
(3)
規則で、PはAに到達した時点で移動が終了する。毎秒1で長さ6のOAを移動するので移動終了は6秒後である。
同様に、規則でQはO到達後、Cに戻った時点で移動が終了する。C→Oは6、O→Cは6なので、移動距離の合計は12。毎秒2で移動するので移動終了は6秒後である。
したがって、(1)で0≦t≦3を考えているので、3<t≦6を考えればよい。
3<t≦6では、(4≦tとなる部分があるので、長方形OCBHではなく)台形OCBAから、3つの三角形△OPQ、△CBQ、△BPAの面積を引いたものである。またPは3秒でOを折り返し、Cに向け毎秒2でy座標が大きくなるので、y座標は2(t-3)。
台形OCBA=1/2 ×(4+6)×6=30
△OPQ=1/2 ×t×2(tー3)=t2−3t
△CBQ=1/2 ×4×[6-2(tー3)]=1/2 ×4×(12ー2t)=24-4t
△BPA=1/2 ×(6−t)×6=18ー3t
△PBQ=30ー(t2ー3t+24ー4t+18ー3t)=-t2+10t-12
=-t2+10tー25+25ー12
=-(t2−10t+25)+25ー12
=-(t-5)2+13
t=5の時、最大値13
軸はx=5なので、軸からもっとも離れたt=3の時最小値となり、9。(x=3は含まないが含まれたと考えた場合の最小値)
(1)(0≦t≦3)の範囲では、最小値8、最大値12
(2)(3<t≦6)の範囲では、最小値9(t=3の場合)、最大値13
あわせて考えた全範囲では、最小値8(オ答)、最大値13(カキ答)
(4)
(2)(3)で求めた△PBQの面積(Sとする)の0≦t≦3と3<t≦6の範囲での二次関数をつなげて描くと以下のようになる。
10以下になる範囲はつながっているので
S=(t-2)2+8で、S=10となるt1(t1<2)をもとめ、
S=-(t-5)2+13で、S=10となるt2(3<t2<5)をもとめ
t2ーt1を求めればよい。