2025年大学入試共通テスト「数学1A」第3問（配点20点）問題・解答・解説

2025年4月29日 2025年4月29日

asakura

【解説】

（1）

３直線AD、BE、CFは1点で交わる。これを証明しよう。
直線ADとBEは平面ABED上にあり、平行でないので1点で交わる。その交点をPとする。
点Pは直線AD上にあり、直線ADは平面ABEDと平面ア（ACFD・答）との交線であるから、点Ｐは平面ア（ACFD）上にあることがわかる。
また、点Pは直線BE上にあり、直線BEは平面ABEDと平面イ（BCFE・答）との交線であるから、点Pと平面イ（BCFE）上にあることがわかる。
平面ア（ACFD）と平面イ（BCFE）との交線は直線CFであるから、点Pは直線CF上にあることがわかる。

したがって、３直線AD、BE、CFは点Pで交わる。（アイあわせて2点）

直観的にはこれは「三角すいを上部を斜めにスパッと切り落した図形」であり、それぞれの斜辺はもともとの三角すいの頂点Pで交わるのは自明のように感じる。しかし、幾何学の祖で、アレクサンドリアで研究を進めたエウクレイデス（ユークリッド）はその「原論」の中で、自明と思えることでも、最初から丁寧に証明していく形で論を進めた。この問題はエウクレイデスの原点を思い返される問題である。

（2）

五面体において、面ABCは一辺の長さが３の正三角形であり

AD＝７、BE＝11、CF＝17、DE＝９
であるとする。また、6点A、B、C、D、E、Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。

（i）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A、B、E、Dはその円周上にある。
円に内接する四角形では、ある内角とその対角の外角は等しい。以下の図にように、∠BED＝∠PAB（●）。

△PABと△PEDにおいて、∠PAB＝∠PED（▲）、∠BED＝∠PAB（●）で２つの角がそれぞれ等しいので、△PAB∽△PED。
このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかる。
対応する辺で、AB：ED＝３：９＝１：３。
り、その相似比は１：ウ（3)である。
ウ（3)PA、ウ（3)PBは、PA、PBに対応する△PEDの辺のPE、PD。
よって
ウ（3)PA＝PE＝PB＋BE＝PB＋11（エオ答）
ウ（3)PB＝PD＝PA＋AD＝PA＋7（カ答）
が成り立つ。よって
3PA=PB＋11
PB＝3PA－11・・・
3PB＝PA＋7
PA＝3PB－7・・・