2024年 #大学入試 #共通テスト #数学1A 第3問(20点)問題・解答・解説

【解説】
(1)(i)
「1回目、2回目」のカードの取り出した方4通り「A、A」{A、B」「B、A」「B、B」のうち、「A、Bがそろう」のは「A、B」「B、A」の2通り。よって2/4=1/2(ア/イ答)
(ii)
Aを2回、Bを1回取り出す取り出し方は、同様に「A、A、B」「A、B、A」「B、A、A」の3通りである。
Aを1回、Bを2回取り出す取り出し方は、同様に「A、B、B」「B、A、B」「B、B、A」の3通りである。
A、Bがそろう事象は「Aが1回、Bが2回」事象と「Aが2回、Bが1回」事象の和なので3+3=6通り(ウ答)
(iii)
(i)(ii)と同様に考えてもよいが、全体からAのみ取り出す事象とBのみ取り出す事象を引く余事象と考えてもよい。
そう考えると24通り(16通り)の取り出し方から「AAAA」「BBBB」の2通りを引くので、14通り(エオ答)。
確率は14/16 =7/8(カ/キ答)
(2)(i)
ABCが1回ずつ出る取り出し方なので、ABCを1枚ずつ並べる順列と同じである。3×2×1=6通り。(ク答)
(ii)
ABのみが3回出て、4回目にCが出れば「4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう」ことになり、その取り出し方は(1)(ii)で解いた通り、6通り(ウ)である。同様にACのみが3回出て4回目にBが出る取り出し方も6通り、BCのみが3回出て4回目にAが出る取り出し方も6通り。よって3×ウ(6)=18通り。
確率は18/34 =2/9(ケ/コ答)
(iii)
(2)(ⅱ)を(1)(ⅱ)を活用して解いた時と同様に(1)(iii)を活用する。
5回目の試行で初めてABCがそろうのは「4回目までABのみを取り出す」取り出し方の後に、5回目にCが出ればよく、その取り出し方は(1)(ii)で解いた通り、14通り(エオ)である。同様に、「ACが4回が出たあとBが出る」「BCが4回出たあとAが出る」取り出し方も14通りなので、14×3=42通り。(サシ答)
(3)
「6回の試行のうち3回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろい、かつ6回目の試行で初めてDが取り出される」取り出し方の場合、4回目・5回目にはABCのどれが出てもいいので、
6通り(3回目でABCそろう、ク)×3通り(4回目、ABCどれでもよい)
×3通り(5回目、ABCどれでもよい)=54通り(スセ答)。
同じように考えると、「6回の試行のうち4回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろい、かつ6回目の試行で初めてDが取り出される」取り出し方は、(2)(ⅱ)を使うと、
18通り(6回の試行のうち4回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろう)
×3通り(5回目、ABCどれでもよい)=54通り。(ソタ答)
「6回目の試行で初めてABCDがそろう取り出し方」は、
・「3回目の試行で初めてABCがそろい、かつ6回目で初めてDが出る取り出し方」 54通り(スセ)
・「4回目の試行で初めてABCがそろい、かつ6回目で初めてDが出る取り出し方」 54通り(ソタ)
・「5回目の試行で初めてABCがそろい、かつ6回目で初めてDが出る取り出し方」 (2)(iii)で求めた42通り(サシ)
の合計となる。
よって 54+54+42=150通り
また「ABCの後6回目にD」の他、「ABDの後6回目にC」「ACDの後6回目にB」「BCDの後6回目にA」も同じ取り出し方があるので 150×4=600通り。
4種類のカードを同じカードを何回も引いてよい形で
6回引く取り出し方は46通り。