2025年千葉県公立高校入試「数学」第3問（図形の証明）問題・解答・解説（配点16点）
asakura
解説
（1）
線分OAと線分OC（ア）（a答）は、半円Ｏの半径（エ）（b答）だから長さが等しい。よって△OCAは二等辺三角形（オ）（c答）である。
（2）
図でオレンジの２つの三角形が相似であることの証明が求められている。
三角形の相似条件は、「2組の角がそれぞれ等しい」「2辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」「3辺の比がそれぞれ等しい」であるが、本設問では辺の長さの比の情報はなく、「2組の角がそれぞれ等しい」を使うことが予測される。（千葉県公立高校入試の三角形の相似の証明の問題では「2組の角がそれぞれ等しい」を使うことが最も多い）
まず、図で青で示した弧CEに対する円周角であることに気づけば、1組目（∠GAF＝∠EBD）の気づく。
次に直径ABを弦とする半円の弧に対する円周角は90°（タレスの定理）なので、∠DEB＝90°
∠FGAは90°のように見えるが、はっきりと書いていないので、ここを前問（1）から、90°であることを証明する。
そこで以下、灰色の２三角形が合同であることを証明する。
前問（1）よりOC＝OA、OGは∠AOCの二等分線なので∠COG＝∠AOG、OG＝OGで2辺とその間の角が等しいので
△OCG≡△OAG。よって∠CGO＝∠FGA（∠AGO）＝90°
この証明により∠FGA＝90°とわかり、∠FGA=∠DEB=90°で、2組目の角も等しいことが証明でき、
△GAF∽△EBDが証明できる。
（3）
★図形の証明や計算に使う定理（一部）
三角形の相似条件を確認しましょう。
★参考 円周角の定理と円周角の性質１～４
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