2020年前期、千葉県公立高校入試「数学」第5問(総合問題)問題・解答・解説(動画と文字両方あり)

2020年10月 船橋市議・予備校講師 朝倉幹晴

2020年2月12日(火)に実施された千葉県公立高校入試の前期試験「数学」の第2問(5)(配点5点)の問題・解答、そして私(朝倉幹晴)が作成した解説です。千葉県教育委員会が発表した各問の正答率(無答率)も付記しました。

2020年前期、千葉県「数学」第5問(総合問題)(配点15点)

空の箱Aと箱Bが1つずつあり、それぞれの箱には、ビー玉の個数を増やすため、次のようなしかけがしてある。

箱Aと箱Bのしかけ
・箱Aにビー玉を入れると、箱の中のビー玉の個数は、 入れた個数の3倍になる。
・箱Bにビー玉を入れると、箱の中のビー玉の個数は、 入れた個数の5倍になる。

1つの箱にビー玉をすべて入れた後、箱の中のビー玉をすべて取り出すことをくり返し、ビー玉の個数を増やしていく。
例えば、はじめに10個のビー玉を用意し、箱Aを1回使ったときについて考える。10個のビー玉は、箱Aを使うことによって30個になり、この30個のビー玉は、箱Bを使うことによって150個になるので、最後に取り出したビー玉の個数は150個である。
このとき、次の(1)~(4)の問いに答えなさい。

(1)はじめに2個のビー玉を用意し、箱Aを2回使った後、箱Bを2回使った。最後に取り出したビー玉の個数を求めなさい。
(配点3点)(正答率72.6%(無答率2.0%))

(2)はじめにビー玉をいつくか用意し、箱A、箱Bを合計 5回使ったところ、最後に取り出したビー玉の個数は 2700個であった。はじめに用意したビー玉の個数を求めなさい。(配点3点)(正答率42.0%(無答率22.3%))

(3)箱Aと箱Bに加え、空の箱Xを1つ用意する。箱X には、次のようなしかけがしてある。

箱Xのしかけ
・箱Xにビー玉を入れると、箱の中のビー玉の個数は、入れた個数のx倍になる。ただし、xは自然数とする。

はじめに1個のビー玉を用意し、箱Aを2回使った後、箱Bを1回使い、さらにその後、箱Xを2回使ったところ、最後に取り出したビー玉の個数は540x個であった。このとき、xの値を求めなさい。ただし、答えを求める過程がわかるように、式やことばも書きなさい。
(配点4点)(12.4%が4点、10.6%が2点(無答率50.8%))

(4) 1枚のコインを1回投げるごとに、表が出れば箱Aを使い、裏が出れば箱Bを使うこととする。はじめに4個のビー玉を用意し、1枚のコインを4回投げ、箱A、箱Bを合計4回使うとき、最後に取り出したビー玉の個数が1000個をこえる確率を求めなさい。ただし、コインを投げるとき、表と裏のどちらが出ることも同様に確からしいものとする。(配点5点)(正答率17.5%(無答率38.3%))

入試問題には図はありませんが、イメージができるように図を作ってみました。ご参考にください。

 

以下、動画解説もあります。(一度ご覧いただいた上で、改めて、次頁からの文字解説を丁寧にご覧いただくことをお勧めします。)

千葉県2020年数学(前期・2月12日)第5問解説速報

次の頁には文字での詳細な解答解説があります。