2022年大学入試共通テスト「数ⅠA」第4問(整数論、不定方程式)(選択)問題(計20点)・解答・解説

2022年11月5日 予備校講師・船橋市議 朝倉幹晴

2022年大学入試共通テスト第4問(整数論、選択、20点)の解答・解説を作成しましたので、勉強や受験対策にご活用ください。問題の末尾をクリックすると解答・解説のページに飛びます。

2022年大学入試共通テスト第4問(整数論)(選択)(20点)問題

(1)54=625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式
54x-24y=1・・・
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x=、y=イウアイウあわせて3点
であることがわかる。
また、の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x=エオ(2点)、y=カキク(2点)
である。

(2)次に6252を55で割ったときの余りと、25で割ったときの余りについて考えてみよう。
まず
6252=5
であり、また、m=イウとすると
6252=2m2+2m+1 (ケコあわせて2点
である。これらより、6252を55で割ったときの余りと、25で割ったときの余りがわかる。

(3)(2)の考察は、不定方程式
55x-25y=1・・・
の整数解を調べるために利用できる。
x、yをの整数解とする。55xは55の倍数であり、25で割ったときの余りは1となる。よって、(2)により、55x-6252は55・25の倍数である。
このことから、の整数値のうち、xが3桁の正の整数で最小になるのは
x=サシス(3点)、y=セソタチツ(3点)
であることがわかる。
(4)114を24で割ったときの余りは1に等しい。不定方程式
115x-25y=1
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x=テト(3点)、y=ナニヌネノ(2点)
である。

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