2022年大学入試共通テスト「数ⅠA」第4問（整数論、不定方程式）（選択）問題（計20点）・解答・解説

2022年11月5日　予備校講師・船橋市議　朝倉幹晴

2022年大学入試共通テスト第4問（整数論、選択、20点）の解答・解説を作成しましたので、勉強や受験対策にご活用ください。問題の末尾をクリックすると解答・解説のページに飛びます。

2022年大学入試共通テスト第4問（整数論）（選択）（20点）問題

（1）5⁴＝625を2⁴で割ったときの余りは１に等しい。このことを用いると、不定方程式
5⁴x－2⁴y＝１・・・
の整数解のうち、ｘが正の整数で最小になるのは
ｘ＝ア、ｙ＝イウ （アイウあわせて3点）
であることがわかる。
また、の整数解のうち、ｘが2桁の正の整数で最小になるのは
ｘ＝エオ（2点）、ｙ＝カキク（２点）
である。

（2）次に625²を5⁵で割ったときの余りと、2⁵で割ったときの余りについて考えてみよう。
まず
625²＝5^ケ
であり、また、ｍ＝イウとすると
625²＝2^ケm²＋2コｍ＋１　（ケコあわせて２点）
である。これらより、625²を5⁵で割ったときの余りと、2⁵で割ったときの余りがわかる。

（3）（2）の考察は、不定方程式
5⁵x－2⁵y＝１・・・
の整数解を調べるために利用できる。
x、ｙをの整数解とする。5⁵xは5⁵の倍数であり、2⁵で割ったときの余りは１となる。よって、（2）により、5⁵x－625²は５⁵・2⁵の倍数である。
このことから、の整数値のうち、ｘが３桁の正の整数で最小になるのは
ｘ＝サシス（3点）、ｙ＝セソタチツ（3点）
であることがわかる。
（4）114を2⁴で割ったときの余りは１に等しい。不定方程式
115x－25y＝１
の整数解のうち、ｘが正の整数で最小になるのは
ｘ＝テト（3点）、ｙ＝ナニヌネノ（2点）
である。

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