2021年大学入試共通テスト（第1日程）「数学ⅡB」第4問「数列」問題（20点配点）・解答・解説

2022年5月27日　予備校講師・船橋市議（無党派）　朝倉幹晴

2021年共通テスト第2日程の数学ⅡBの解答・解説を作成しました。学習や入試対策にご活用ください。

2021年共通テスト第２日程、数学ⅡB第4問（計20点）

初項３、交差ｐの等差数列を{a_n}とし、初項３、公比rの等比数列を｛b_n｝とする。
ただし、ｐ≠０かつｒ≠０とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。
a_nb_n+1－2a_n+1b_n＋3b_n+1＝0 (n=1,2,3,…）…

（1）pとrの値を求めよう。自然数ｎについて、a_n、a_n+1、b_nはそれぞれ

a_n＝ア＋（n－1）p …（ア1点）
a_n+1＝ア＋np…
b_n＝イr^n－1（イ1点）
と表される。ｒ≠0により、すべての自然数nについて、b_n≠0となる。

であることから、の両辺をb_nで割ることにより
ウa_n+1＝r(a_n＋エ）…（ウエ合わせて２点）
が成り立つことがわかる。にとを代入すると
（ｒ－オ）pn=r(p－カ）＋キ…（オカキ合わせて２点）
となる。
がすべてのｎで成り立つことおよびp≠0により、r＝オを得る。さらに、このことから、ｐ＝ク（3点）を得る。
以上から、すべての自然数ｎについて、a_nとb_nが正であることもわかる。

（2）ｐ＝ク、ｒ＝オであることから、{a_n},{b_n}の初項から第ｎ項までの和は、それぞれ次の式で与えられる。

（3）数列｛a_n｝に対して、初項３の数列｛c_n｝が次を満たすとする。
a_nc_n+1－4a_n+1c_n+3c_n+1＝0（ｎ＝1,2,3,・・・）…
a_nが正であることから、を変形して、を得る。
さらに、ｐ＝クであることから、数列｛c_n｝はタことがわかる。

タの解答群

すべての項が同じ値をとる数列である。

交差が０でない等差数列である。

公比が１より大きい等比数列である。

公比が１より小さい等比数列である。
等差数列でも等比数列でもない。

（4）q、uは定数で、ｑ≠0とする。数列｛b_n｝に対して、初項3の数列｛d_n｝が次を満たすとする。
d_nb_n+1－qd_n+1b_n+ub_n+1＝0（n=1,2,3,‥‥）‥‥
ｒ＝オであることから、を変形して、

を得る。したがって、数列｛dn｝が、公比が０より大きく１より小さい等比数列となるための必要十分条件は、
q＞ツかつu＝テである。
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