2019年大学入試センター試験「数学ⅠA」第4問「整数論」問題・解答・解説(選択問題・配点20点)

【解説】
(1)


49xー23y=1・・・
49・8-23・17=1‥‥
より
49(x-8)ー23(yー17)=0
49(xー8)=23(y-17)
これが49・23k(kは整数)と等しいとすると
49(xー8)=49・23・k
xー8=23k  x=23k+8(エオ答)
23(yー17)=49・23k
y-17=49k  y=49k+17(カキ答)(エオカキあわせて2点)

(2)

前問より 1=8・49ー17・23より
AとBの差の絶対値が1となる組み(A、B)の中でAが最小になるのは、
(A、B)=(49×、23×17)(クケコ答あわせて3
前問(1)のに代入して
2=23ー7・3=23ー7(49ー23・2)=23ー7・49+14・23=15・23ー・49
よってA、Bの差の絶対値が2となる組(A、B)の中でAが最小となるのは
(A、B)=(49×、23×15)(サシス答あわせて3点

(3)

aとa+2の最大公約数は
aが奇数のとき、a+2も奇数で、最大公約数は1
aが偶数(2の倍数)のとき、a+2も偶数(2の倍数)。よって最大公約数はセ答、2点

連続する3つの自然数には、必ず2の倍数と3の倍数を含む。したがってその積は6の倍数となる。
条件:a(a+1)(a+2)はmの倍数
のmの最大のものはである。(ソ答2点

(4)

b(b+1)(b+2)が6762の倍数なので
b(b+1)(b+2)=6762N(Nは自然数)
よって
b(b+1)(b+2)=2×3×7²×23×N
連続する3つの自然数の積は必ず6(2×3)の倍数と
なるが、7²(49)と23はb、b+1、b+2のいずれかの約数となる。
つまり、b、b+1、b+2のいずれかが49と23の倍数となる。

●bとb+1、あるいはb+1とb+2がそれぞれ49と23の倍数である場合、その中で最小になるのは
前問(2)より、その2数は
49×8、23×17となる。

●bとb+2がそれぞれ49と23の倍数である場合、その中で最小になるのは
前問(2)より、その2数は
49×7、23×15となる。

49×7、23×15の組のほうが小さいので、こちらが、6762の倍数となる最小の自然数となる。
49×7=343、23×15=345
よってb=343、b+2=345となる。

朝倉幹晴をフォローする