2019年大学入試センター試験「数学ⅠA」第4問「整数論」問題・解答・解説（選択問題・配点20点）

【解説】
（1）

49ｘー23ｙ＝１・・・
49・８－23・17＝１‥‥
より
49（ｘ－8）ー23（ｙー17）＝０
49（xー8)＝23（y－17)
これが49・23ｋ（ｋは整数）と等しいとすると
49（xー8)＝49・23・ｋ
ｘー８＝23ｋ　　ｘ＝23ｋ＋８（エオ答）
23（ｙー17）＝49・23k
y－17＝49ｋ　　ｙ＝49ｋ＋17（カキ答）（エオカキあわせて2点）

（2）

前問より　１＝8・49ー17・23より
AとBの差の絶対値が１となる組み（A、B）の中でAが最小になるのは、
（A、B）＝（49×８、23×17）（クケコ答、あわせて3点）
前問（1）のをに代入して
２＝23ー７・３＝23ー７（49ー23・2）＝23ー７・49＋14・23＝15・23ー７・49
よってA、Bの差の絶対値が２となる組（A、B）の中でAが最小となるのは
（A、B）＝（49×７、23×15）（サシス答、あわせて3点）

（3）

aとa+2の最大公約数は
aが奇数のとき、a+2も奇数で、最大公約数は１
aが偶数（2の倍数）のとき、a＋２も偶数（２の倍数）。よって最大公約数は２（セ答、2点）

連続する３つの自然数には、必ず２の倍数と３の倍数を含む。したがってその積は6の倍数となる。
条件：a（a+1)(a+2)はmの倍数
のｍの最大のものは６である。（ソ答、2点）

（4）

ｂ（b+1)(b+2)が6762の倍数なので
b(b+1)(b+2)＝6762N（Ｎは自然数）
よって
b(b+1)(b+2)＝2×3×7²×23×N
連続する３つの自然数の積は必ず６(2×3)の倍数と
なるが、7²（49）と23はｂ、b+1、b+2のいずれかの約数となる。
つまり、b、b+1、b+2のいずれかが49と23の倍数となる。

●ｂとb+1、あるいはb+1とｂ＋２がそれぞれ49と23の倍数である場合、その中で最小になるのは
前問（2）より、その２数は
49×８、23×17となる。

●ｂとｂ＋２がそれぞれ49と23の倍数である場合、その中で最小になるのは
前問（2）より、その２数は
49×７、23×15となる。

49×７、23×15の組のほうが小さいので、こちらが、6762の倍数となる最小の自然数となる。
49×７＝343、23×15＝345
よってｂ＝343、ｂ＋２＝345となる。