【2017年前期・千葉県公立高校入試数学】第５問（タイル並べ・文章題）問題・解答・解説

2017年10月28日 2019年12月9日

asakura

【はじめに】私は、様々な理由で受験や進学で不利になっている子どもたち（原発被災避難世帯、児童養護施設、母子生活支援施設、ひとり親家庭など）の学習サポートを続けてまいりました。しかし直接伺える場所・教えられる子どもの数は限られますので、どなたでもご覧いただけるように、公式サイトにその内容をUPすることにいたしました。どうぞご活用ください。

【注意事項】
①前半に問題、後半に解答解説があります。問題にじっくりとりくみ考えたい人は、「以下解答解説です」の画像のところで画面を止める（印刷した場合はそれより下を見ない）ようにしてください。
②入試問題は実際は、白黒です。ただせっかくの画像上ですので、カラーをつけました。

【千葉県公立高校入試】前期数学第５問（問題・15点）

下の図1のように、1辺の長さが１㎝の正六角形ABCDEFのタイルと、1辺の長さが１㎝の正三角形のタイルがある。正六角形のタイルは1枚、　正三角形のタイルはたくさんある。下の図２のように、　正六角形の２つの頂点A、Dを通る直線をℓとする。
次のルールに従って、正六角形のタイルの周りを囲むように正三角形のタイルを順に1枚ずつ、すき間なく置いていき、1辺の長さが１㎝ずつ長くなる正六角形を作っていく。ただし、タイルの厚さは考えないものとする。

ルール　１　正三角形のタイルの1辺を直線ℓ上に置き、正六角形と正三角形のタイルの頂点が重なるようにする。
２　反時計回りに、正三角形のタイルを1枚ずつ正六角形になるまで置いていく。
３　１、２を繰り返す。

例えば、図３はルールに従って、1辺の長さが２cmの正六角形を作った後、19枚目の正三角形のタイルを直線ℓ上に置いた状態である。

次の（1）～（3）の問いに答えなさい。

（1）1辺の長さが３cmの正六角形を作ったとき、使った正三角形のタイルは全部で何枚になるか、求めなさい。（3点）
(2)ある正六角形を作ったとき、使った正三角形のタイルは全部で144枚であった。このとき、正六角形の1辺の長さは何cmになるか、求めなさい。(4点）
（3）正三角形のタイル1枚に１色ずつ、赤、緑、青の色を塗る。「赤→緑→緑→青→青→青」の順にくり返し、ルールに従って、塗られたタイルを置くこととする。下の図４は、1辺の長さが２cmの正六角形を作った後、19枚目の正三角形のタイルを直線ℓ上に置いた状態である。次の①、②に答えなさい。

①1辺の長さが８cmの正六角形を作ったとき、使った緑色の正三角形のタイルは全部で何枚になるか。求めなさい。（4点）
②赤、緑、青の色に塗られた正三角形のタイルが、それぞれ400枚ずつあるとき、タイルを使ってできる最も大きい正六角形の1辺の長さは何cmになるか。求めなさい。（4点）

【解答】（計15点）（1）48枚（3点）　（2）5cm（4点）　（3）①126枚（4点）②11cm（4点）

【動画解説（10分）】以下の文章の解説内容を動画でも配信しています。ぜひ合わせてご覧ください）
10分動画（2017年前期・千葉県公立高校前期入試第5問解答解説）

【解説】
（1）1辺の長さが３cmの正六角形を作ったとき、使った正三角形のタイルは全部で何枚になるか、求めなさい。（3点）

このまま考えてもわからないので、わかりやすい区画に分割して考える。正六角形を対角線で6分割した区画で考える。すると1区画のタイルは正三角形型に規則的に並ぶことがわかる。
まず２周目までタイルを敷きつめ、1辺が2cmの正六角形（1区画では1辺が2cmの正三角形）を作るところまで考えると、以下のようにタイルの数は18枚（３枚×6区画）が必要である。

同様に３周目までタイルを敷きつめ、1辺が3cmの正六角形（1区画では1辺が3cmの正三角形）を作るところまで考えると、３周目に使ったタイルの数は30枚（5枚×6区画）が必要である。