2015年前期、千葉県公立高校入試「数学」第5問（数の規則性・格子点）問題・解答・解説

2015年2月12日（木）に実施された、2015年前期、千葉県公立高校「数学」第5問（数の規則性・格子点）の問題・解答・解説です。タイトルの「格子点」の命名は私（朝倉）によるものです。格子点とは、座標上でｘ座標、ｙ座標とも整数である点のことです。高校入試では時々出題されます。この問題では座標は設定してありませんが、AかBを座標の原点とすると実質は格子点の問題ですので、類題との関連性を強調するため、そう命名しました。各小問の配点と千葉県教育委員会が発表した正答率（無答率）も付記しました。

第5問（数の規則性・格子点）（計15点）

図１のように、１目もりが、縦、横ともに1cmの等しい間隔で線がひかれている方眼紙の、縦軸と横軸の交点に点（●）が打ってある。この点のうちから、2点A、BをAB＝4cmとなるようにとる。
さらに、点Cを∠CAB＝90°、AC＝ｎcm（ｎは正の整数）となるようにとり、3点A、B、Cを結んで直角三角形をかいたとき、直角三角形ABCの内部及び周上にある点の個数をNとする。次のはるかさんと先生の会話を読み、（1）～（3）の問いに答えなさい。

はるかさんと先生の会話

先生　：これから、ｎの値と、直角三角形ABCの内部及び周上にある点の個数Nの関係について考えましょう。
はるか：直角三角形の面積は長方形の半分だから、点の戸数も長方形の半分じゃないですか。
先生　：では、ｎ＝５のときで確かめてみましょう。
はるか：図２から、ｎ＝５のときの直角三角形ABCは、縦が４㎝、横が５㎝の長方形を半分にしたものです。この長方形の内部及び周上にある点の戸数は、５×６で30個ですが、Nを数えたところ16個で、半分ではありませんでした。どうしてですか。
先生　：長方形の点の個数を半分に分けるということは、辺BC上にある点の個数も
半分に分けることになります。でもこの場合、辺BC上にある点は、点B、点C
の2個だけですが、この2個ともNに含まれますよね。
はるか：なるほど、辺BC上にある点の個数がNを求める鍵なんですね。
先生　：では、ｎ＝６のとき、辺BC上にある点の個数は何個ですか。
はるか：　（ア）　個（2点）（正答率45.9%(無答率3.9%))です。
先生　：それでは、ｎが他の値の場合についても調べてみましょう。
はるか：ｎが８までの場合について、辺BC上にある点の個数を書き出したところ、
（イ）　通りしな出てきませんでした。
先生　：ｎが８より大きい場合を書き出しても、８までと同じ規則性で並ぶので、
辺BC上にある点の個数は、全部で　（イ）　通り（2点）（正答率38.4%（無答率3.9%))でいいんですよ。
はるか：そうすると、ｎがどんな値の場合でも辺BC上にある点の個数が
いくつになるかわかりますね。
先生　：その通りです。辺BC上にある点の個数がわかれば、Nを求めることができます。
ｎ＝８のときは、辺BC上にある点は　（ウ）　個（2点）（正答率50.0%（無答率10.2%))で、
Nは　（エ）　個（2点）（正答率43.4%(無答率12.4%))になります。

（1）会話中の　（ア）　～　（エ）　に入る数をそれぞれ書きなさい。
（2）辺BC上にある点の個数が最も多くなる場合のｎとNの関係について考える。
このとき、Nを、ｎを使った式で表しなさい。（4点）（正答率6.0%(無答率47.8%))
（3）辺BC上にある点の個数が最も少なくなる場合のｎとNの関係について考える。
このとき、N＝186であるようなｎの値を求めなさい。（3点）(正答率3.2%（無答率58.1%))
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