2023年大学入試共通テスト「数ⅡＢ」第4問「数列」（配点20点）問題・解答・解説
asakura
2024年1月11日 予備校講師・船橋市議 朝倉幹晴
2023年大学入試共通テスト「数学ⅡB」第4問（配点20点）の解答・解説を作成しましたので、ご活用ください。問題文の最後の所でページ番号「２」をクリックすると解答・解説に飛びます。
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2023年大学入試共通テスト「数学ⅡB」第4問「数列」（配点20点）
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利１％で利息がつき、ある年の初めの預金がｘ万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をｐ万円とし、ｎ年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、ｐ＞０とし、ｎは自然数とする。例えば、a1=10+p、a2=1.01(10+p)+pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
方針１
ｎ年目の初めの預金と（n+1)年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3=ア（2点）である。すべての自然数ｎについて
an+1＝イan+ウ（あわせて3点）
が成り立つ。これは
an+1＋エ＝オ（an+エ）（あわせて3点）
と変形でき、anを求めることができる。
方針２
もともと預金口座にあった10万円と毎年の初めに入金したｐ万円について、n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。
もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めに10×1.01万円になり、3年目の初めに10×1.012万円になる。同様に考えるとｎ年目の初めには10×1.01ｎ－1万円になる。
・1年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはp×1.01カ万円になる。
・２年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはp×1.01キ万円になる。
・ｎ年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはp万円のままである。
（カキあわせて2点）
（2）花子さんは、10年目の終わりの預金が30万円以上になるための入金額について考えた。
10年目の終わりの預金が30万円以上であることを不等式を用いて表すとコ（2点）≥30となる。この不等式をｐについて解くと
となる。したがって、毎年の初めの入金額が例えば18000円であれば、10年目の終わりの預金が30万以上になることがわかる。
（3）1年目の入金を始める前における花子さんの預金が10万円ではなく、13万円の場合を考える。すべての自然数ｎに対して、この場合のｎ年目の初めの預金はan万円よりもソ万円（2点）多い。なお、年利は１％であり、毎年の初めの入金額はｐ万円のままである。
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