2021年大学入試共通テスト(第1日程)「数学ⅡB」第4問「数列」問題(20点配点)・解答・解説

2022年5月27日 予備校講師・船橋市議(無党派) 朝倉幹晴

2021年共通テスト第2日程の数学ⅡBの解答・解説を作成しました。学習や入試対策にご活用ください。

2021年共通テスト第2日程、数学ⅡB第4問(計20点)

初項3、交差pの等差数列を{an}とし、初項3、公比rの等比数列を{bn}とする。
ただし、p≠0かつr≠0とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。
anbn+1-2an+1bn+3bn+1=0 (n=1,2,3,…)…

(1)pとrの値を求めよう。自然数nについて、an、an+1、bnはそれぞれ

an+(n-1)p …(ア1点)
an+1+np…
bnrn-1(イ1点)
と表される。r≠0により、すべての自然数nについて、bn≠0となる。

であることから、の両辺をbnで割ることにより
an+1=r(an)…(ウエ合わせて2点)
が成り立つことがわかる。を代入すると
(r-)pn=r(p-)+(オカキ合わせて2点)
となる。
がすべてのnで成り立つことおよびp≠0により、r=を得る。さらに、このことから、p=(3点)を得る。
以上から、すべての自然数nについて、anとbnが正であることもわかる。

(2)p=、r=であることから、{an},{bn}の初項から第n項までの和は、それぞれ次の式で与えられる。

 

(3)数列{an}に対して、初項3の数列{cn}が次を満たすとする。
ancn+1-4an+1cn+3cn+1=0(n=1,2,3,・・・)…
anが正であることから、を変形して、を得る。
さらに、p=であることから、数列{cn}はことがわかる。

の解答群

すべての項が同じ値をとる数列である。

交差が0でない等差数列である。

公比が1より大きい等比数列である。

公比が1より小さい等比数列である。
等差数列でも等比数列でもない。

 

(4)q、uは定数で、q≠0とする。数列{bn}に対して、初項3の数列{dn}が次を満たすとする。
dnbn+1-qdn+1bn+ubn+1=0(n=1,2,3,‥‥)‥‥
r=であることから、を変形して、

を得る。したがって、数列{dn}が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための必要十分条件は、
q>かつu=である。

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