2020年大学入試共通テスト「数学ⅡB」第2問[2](微分・積分)問題・解答・解説

a>0とし、f(x)=x2−(4a-2)x+4a2+1とおく。座標平面上で、放物線y=x2+2x+1をC、
放物線y=f(x)をDとする。またℓをCとDの両方に接する直線とする。

(1)ℓの方程式を求めよう。
ℓとCは点(t,t2+2t+1)において接するとすると、ℓの方程式は
y=(t+)x-t2+‥‥
である。また、ℓとDは点(s,f(s))において接するととする、ℓの方程式は
y=(s-a+)x-s2a2…‥

である。ここで、は同じ直線を表しているので、t=、s=aが成り立つ。
したがって、tの方程式はy=x+である。

(2)二つの放物線C、Dの交点のx座標はである。
Cと直線ℓ、および直線x=で囲まれた図形の面積をSとすると、

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