2019年大学入試センター試験「数学ⅡB」第2問(微分・積分、配点30点)問題・解答・解説

2022年8月20日 予備校講師・船橋市議 朝倉幹晴

大学入試センター問題の問題・解答・解説を作成しました。学習や入試対策にご活用ください。

2019年大学入試センター試験「数学ⅡB」第2問(微分・積分)(計30点)問題

p、qを実数とし、関数f(x)=x3+px2+qxはx=-1で極値2をとるとする。また、座標平面上の曲線y=f(x)をC、放物線y=-kx2をD、放物線D上の点(a、-kx2)をAとする。ただし、k>0、a>0である。

(1)関数f(x)がx=-1で極値をとるので、f´(-1)=(1点)である。これとf(-1)=2より、p=(1点)、q=ウエ(1点)である。よって、f(x)は、x=(2点)で極小値カキ(1点)をとる。

(2)点Aにおける放物線Dの接戦をℓとする。Dとℓおよびx軸で囲まれた図形の面積Sをaとkを用いて表そう。


(3)さらに、点Aが曲線C上にあり、かつ(2)の接線ℓがCにも接するとする。このときの(2)のSの値を求めよう。


ℓとCの接点のx座標をbとすると、ℓの方程式はbを用いて
y=(b2)xー3・・・・・
(ㇳナ2点、ニ1点)
と表される。の右辺をg(x)とおくと
f(x)-g(x)=(x-2(x+b)(ヌ1点、ネ2点)

と因数分解されるので、a=-bとなる。

朝倉幹晴をフォローする