2019年大学入試センター試験「数学ⅡB」第2問（微分・積分、配点30点）問題・解答・解説

【解説】
（1）関数f(x)がｘ＝－１で極値をとるので、f´（－1)＝0（アの答）（1点）
f(x)＝x³＋px²＋qx
f´（x）＝3x²＋2px+q
f´（－1）＝3・（－1)²＋2p・（－1)+q＝3－2p+q
よって　3－2p+q＝0   －3＋2p－q=0、　2p－q=3…

f(－1)＝２なので
f(－１）＝（－1）³＋p・（－1）²＋q・(－1)
＝－1＋p－q
－1+p－q＝２　　ｐ－q＝3…
－より
ｐ＝0（イの答）（1点） 　に代入してq＝－3（ウエの答）（1点）

よって
f(x)＝x³＋px²＋qx=x³－3x
f´(x)＝3x²－3＝3(x²－1)=3(x+1)(x－1)

(2)



（3）

ℓとC（ｙ＝x³－3x)の接点のｘ座標をｂとすると、
C上の接点の座標は（b,b³ー3b)
Cの導関数はy´＝3x²ー3
よって接線の方程式は
y－(b³－3b)＝（3b²－3)(x－b)
y=(3b²－3)x－b(3b²－3)＋b³－3b
y=3(b²－1)x－3b³＋3b＋b³－3b
y=3(b²－1)x－2b³・・・・
（ㇳナ答、2点）（ニ答、1点）

の右辺をｇ（ｘ）とおくと
f(x)ーg(x)＝x³－3x－｛3(b²－1)x－2b³}
＝x³－3x－3(b²－1)x＋2b³
＝x³－3b²x＋2b³