2016年前期、千葉県公立高校入試「数学」第5問(総合問題・ランプ点灯パターン)解答・解説

2016年2月9日(火)に実施された2016年前期、千葉県公立高校入試「数学」第5問(総合問題・ランプ点灯周期)問題・解答・解説です。試験問題は白黒ですが、画面上ですので一部カラーを使いました。また、各小問の配点千葉県教育委員会発表の正答率(無答率)も併記しました。

第5問第5問(総合問題・ランプ点灯パターン)(計15点)

図1のように正五角形の頂点の位置(●)に、A~Eの電球が置いてあり、1つのボタンの操作により、それぞれが「点灯している状態」か「点灯していない状態」になる。

A~Eの電球は、操作を始める前、すべて「点灯している状態」にあり、操作を始めてからは、次の規則にしたがう。

規則
Aの電球:ボタンの操作2回ごとに「点灯している状態」になる。
Bの電球:ボタンの操作3回ごとに「点灯している状態」になる。
Cの電球:ボタンの操作4回ごとに「点灯している状態」になる。
Dの電球:ボタンの操作5回ごとに「点灯している状態」になる。
Eの電球:ボタンの操作6回ごとに「点灯している状態」になる。

例えば、Aの電球は、「点灯している状態」からボタンを1回操作すると「点灯していない状態」になり、続けてボタンを1回操作すると「点灯している状態」になる。 表は、ボタンの操作が6回までの電球の状態を表したものである。
このとき、あとの(1)~(3)の問いに答えなさい。

(1)ボタンの操作回数が10回のとき、「点灯している状態」の電球をすべて 選び、A~Eの符号で答えなさい。(3点)
                                                                                                    (正答率89.0%(無答率2.3%))

(2)次の説明は、A~Eの電球の状態について述べたものである。 a(4点)(正答率57.5%(無答率10.6%))
         b(4点)(正答率13.0%(無答率15.7%)) に入る数をそれぞれ書きなさい。

説明
操作をはじめてから、次にA~Eすべての電球が「点灯している状態」になるのは、ボタンの操作回数がa回のときである。また、a回までの間に、すべての電球が「点灯していない状態」になるのは。全部でb回ある。

(3)ボタンの操作により、「点灯している状態」になった電球の位置にある点を それぞれ結ぶ。例えば、図2の太線は、ボタンの操作回数が4回のときのものである。ボタンの操作回数が205回までの間に、A~Eの電球のうち、「点灯している状態」の電球が3つで、その電球の位置にある点を結んでできる図形が、正五角形の 1つの辺と2つの対角線からなる三角形になるのは何回あるか、求めなさい。(4点)(正答率3.0%(無答率42.4%))

朝倉幹晴をフォローする