2015年前期、千葉県公立高校入試「数学」第2問（4）（確率）解答、解説

2019年7月31日 2019年8月24日

asakura

解説

千葉県では、大小２つのさいころを同時に1回投げて、出た目の数に関しておきる事象の確率を求める問題が多い。他の入試でもこの出題は多い。そこでその場合の基本点を確認しておこう。まずは、縦・横、６×６のゴバン目ますを描いて考えるのが基本となる。

次にこの設問で問われている「ねじれの位置にある」とはどういうことか、空間での2直線の位置関係を確認しよう。

この３者の関係は立方体（さいころなど）の12本の辺（を両側に延長した直線）において、ある辺（を両側に延長した直線）を基準として確認するとわかりやすいし、立方体の辺の関係を聞く問題もズバリ出題されるので確認しておこう。立方体の12本の辺（を両側に延長した直線）を分類すると、基準と同じ直線（重なる）が1本、平行が3本、交わるが4本、ねじれの位置にあるが4本となる。

さて、辺ではないが、以下の点もよく勘違いするので確認しておこう。

それでは、これから本設問の点P、Qの動きと直線PQの位置を確認してみよう。
まずさいころの目の出方とPQの位置は以下のようになる。Pは上の面の4頂点を、Qは下の面の4兆点を移動する。
「１の目と５の目」「２の目と６の目」は同じ位置に来ることを確認しよう。

次に基準とする直線CGとの位置関係とその時の目の出方を確認しよう。（先ほど確認した立方体の辺の問題である）

【交わる】形となるPQはもっと多いが図が見えにくくなるので上図では２つのみ示した。
PがCの位置に来る（目は２か６）場合は、Qはどの位置にあろうとも、必ず交わる。
同様にQはGの位置に来る（目が２か６）場合は、Pがどの位置にあろうと必ず交わる。
このことに気づけば、全部を図示しなくても、どういう場合かを理解できる。
（ただし、PがCかつQがGの場合は「交わる」ではなく重なる（同じ直線である）となる。）

【ねじれの位置にある】形となるPQはもっと多いが図が見えにくくなるので上図では２つのみ示した。全部を図示して数えようとしても、図がゴチャゴチャになり間違えやすい。そこで「ねじれの位置」は「重なる」「平行」「交わる」以外のものだという消去法で考える。

それではいよいよまとめに入ろう。１と５の目、２と６の目が同じ結果なので、それを合体した変化パターンのゴバン目表を書き、上記「重なる」「平行」「交わる」がどのマスに来るか書き込む。「交わる」はP、Qのいずれかが「２,6」の位置であるので、「２,6」の位置の縦横列のマスに位置する。またその縦列。横列が重なったところが「重なる」となる。

この表で空白部分が消去法で「ねじれの位置」である。「1,5」「2,6」の行・列は場合の数が２であり、両者が重なったところは２×２で場合の数が４であることに気をつけて、空白に場合の数を書きこんでみよう。