2021年、千葉県公立高校入試「数学」第3問（二次関数、配点計15点）問題・解答・解説

2021年7月13日 2021年7月15日

asakura

【解答】（計15点配点）

（1）ｙ＝ｘ＋４（配点5点）（正答率76.9％（無答率5.8%))

（2）24(cm²)（5点配点）（正答率29.5%(無答率29.6%))

（5点配点）（正答率2.5%(無答率65.6%))

【解説】

（1）A、Bは上にあるので、ｙ座標をもとめると
Ａ：ｙ＝１／２　×（－２）²＝２
B：ｙ＝１／２　×4²＝8
よって座標はA（－２，2)、B（４、８）である。
直線ℓをｙ＝ax+bとする。直線ℓは2点Ａ、Ｂを通るので、
２＝－２a＋ｂ・・・
８＝４a＋ｂ・・・
－より　６a＝６　a=1
に代入して、２＝－２×１＋ｂ　　ｂ＝４
よってｙ＝ｘ＋４

（2）

平行四辺形の面積の公式は以下の図の通りである。また平行四辺形の面積を求める別の方法として、対角線で分割すると２つの合同な三角形に分割されるのでその三角形の面積を求めて2倍するという方法もあることを知っておくとよい。

まず、本設問を、「面積＝底辺×高さ」で求めてみよう。

直線ℓの傾きが１であ、ｘ軸、y軸に対して45°の角となる。するとAとBの位置からｙ軸、ｘ軸に平行な線を引き交点をＦとすると△ＦＡＢは直角二等辺三角形となる。すると直角二等辺三角形の辺比（下図参照）からＡＢ＝となる、同様にＡＣ＝でＡＢ⊥ＡＣなので底辺ＡＢ（）、高さＡＣ（）の平行四辺形と考えることができ、面積24cm²を求めることができる。

★2分割した三角形の面積で求める方法

上記のように平行四辺形を「底辺×高さ」で求めようとした場合、たまたま、本設問の場合は、辺ABの直線の傾きが１で、ｘ軸、ｙ軸から45°の角度であり、直角二等辺三角形の辺比からＡＢの長さを容易に求められたし、ＡＢ⊥ＡＣから、高さも求めやすかった。しかし、辺の直線の傾きは１や－１とは限らず、直交する「高さ」も求められるとは限らない。
したがって、別の発想を使ってみよう。
そこで、平行四辺形が対角線で２つの合同な三角形に分割されることを利用し、その三角形の面積を2倍して平行四辺形の面積を求めることを考えてみよう。

この図の青塗りの△AOB（△ACB）を考えてみる。先ほどと同じく、「ABの傾き１、AC⊥AB」という考えを使わなくても（その考えに気づかない場合でも）、発想を変えるだけで容易に求められる。高校入試では、（上記で説明した方法よりも）この解き方のほうが標準的であり、千葉県公立高校入試「数学」では好まれて出題される）

この三角形は、ｙ軸上に頂点１つ（Ｏ、Ｃ）があり、ｙ軸を横切る三角形である。その場合、ｙ軸でこの三角形を2分割することで共通の底辺（この場合OE＝長さ４）を持ち、残りの頂点Ａ、Ｂのｙ軸との距離（ｘ座標の差異）を高さにする図で緑で塗った２つの三角形に分割できる。底辺がｙ軸上の線分の長さになるので、高さはそれと直交するｘ軸との平行線の長さ、すなわちｘ座標の差異となる。すると3頂点ならびに、軸と三角形の辺の交点（Ｅ）の座標の数字を使うだけで容易に計算ができる。
この発想は、ｘ軸上に頂点の１つを持ち、ｘ軸を横切る三角形の面積を求める場合も同様に使うことができる。

（上記計算では「の面積」と書いたが、単に△ＡＢＯ＝△ＡＥＯ＋△ＢＥＯと書いてもよい。＝は面積が等しいことを示す。（≡の場合は面積だけでなく形も完全に等しいことを示す））

一般に、数学の問題では、前の小問の答が、次の小問のヒントになっていることが多い。の平行四辺形ABCD（ABOD）の面積24cm²の活用を考える。
平行四辺形ABCDは、C（とD）の位置によって形は変化しても辺ABだけは共通である。したがって、底辺をABと考え、面積を考えるとよい。
面積の比は
の平行四辺形ABCD（ABOD）：の平行四辺形ABCD　＝24：15＝８：５
底辺ABは共通なので、の高さ：の高さ＝８：５となる。

AB⊥AOであり、
の平行四辺形ABCD（ABOD）は底辺AB、高さAO。
したがって、AO上の点HがAH：AO＝５：８となれば、そのAHの長さがの平行四辺形ABCD　の高さとなる。
Hを通り、ℓ（y=x+4)に平行な直線、図の直線ｍ上に、底辺ＡＢの対辺ＣＤがある形になれば、高さはＡＨと同じになるので、面積は15cm²となる。
直線ｍとｙ軸の交点をＧとする。
△ＯＨＧ△ＯＡＥなので、
ＯＧ：ＯＥ＝ＯＨ：ＯＡ＝（ＯＡーＡＨ）：ＯＡ＝８ー５：８＝３：８